Umkehrungen von Matrizen 22.11.2012

Inverse Matrizen

Sei A eine Matrix, dann ist B (bzw. A⁻¹) die zu A inverse Matrix wenn gilt: A∘B=B∘A=E (E ist die Einheitsmatrix).
Die inverse Matrix lässt sich durch Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus auf die Matrix C=(A|E) bestimmen, welche nach der Anwendung in der Form (E|B) vorliegt.

Beispiel-Rechner

Ausgangsmatrix A

Dimension: ×


Tabelle (Beispiel) aktualisieren

füge 2×2-Einheitsmatrix rechts an (ergibt Matrix C)

1

-3

1

0

-2

5

0

1

bringe Matrix C mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus in die reduzierte Zeilenstufenform (rref)

1

0

-5

-3

0

1

-2

-1

entferne 2×2-Matrix links aus Matrix C (ergibt Matrix B)

-5

-3

-2

-1

Probe: A∘B muss Einheitsmatrix ergeben

1

0

0

1

(Bedingung erfüllt)

Ergebnis

-5

-3

-2

-1

Anwendung

Die inverse Matrix lässt sich verwenden, um das unmögliche Dividieren durch eine Matrix zu ersetzen. Dies ist möglich, da jede Matrix mit der entsprechenden Einheitsmatrix multipliziert wieder sich selbst ergibt.

Transponierte Matrix

Zur Bildung der transponierten Matrix werden Zeilen und Spalten vertauscht.

Anwendung

Seien A, B, C Matrizen und A∘B=C, gilt: Bᵀ∘Aᵀ=Cᵀ. Auf diese Weise ist es möglich, die Reihenfolge in einer Multiplikation von Matrizen zu vertauschen.

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