Gauß-Jordan-Algorithmus 04.09.2012

Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus lässt sich eine Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform bringen.
Dies ist sinnvoll, wenn die Matrix aus den Vorfaktoren der einzelnen Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems ermittelt wurde, um die Zahlwerte der Unbekannten zu ermitteln (siehe Beispiel zur Ermittlung einer Matrix aus einem linearen Gleichungssystem).

Beispiel zur Ermittlung einer Matrix aus einem linearen Gleichungssystem

Formel

Rechenschritte

1.   Suchen der 1. Zeile von oben und Spalte von links, in der mindestens ein Wert, der ungleich 0 ist, steht

2.   Vertauschen der 1. Zeile mit dieser Zeile, wenn die Zahl in der gewählten Spalte der gewählten Zeile gleich 0 ist

3.   Dividieren der 1. (gewählten) Zeile durch die Zahl in der 1. Spalte der 1. Zeile

4.   Subtrahieren entsprechender Vielfacher der 1. Zeile von den anderen Zeilen bis die Zahl in der 1. Spalte jeder Zeile gleich 0 ist

5.   Streichen der 1. Zeile und Spalte zum Erhalten einer Restmatrix; weiter mit Schritt 1, bis die Matrix in Zeilenstufenform ist

6.   Subtrahieren entsprechender Vielfacher anderer Zeilen bis in jeder Zeile möglichst wenige von 0 verschiedene Zahlen stehen

Beispiel-Rechner

Ausgangsmatrix

Dimension: ×


Tabelle (Beispiel) aktualisieren

Schritt 1: suche Zahl≠0

Zeile 1, Spalte 1

Schritt 2: vertausche Zeile 1 mit Zeile 1

keine Veränderung

Schritt 3: teile Zeile 1 durch 5

1

0

0,2

1

1

2

Schritt 4: subtrahiere 1-mal Zeile 1 von Zeile 2

1

0

0,2

0

1

1,8

Schritt 5: entferne erste Zeile und Spalte
weiter mit Schritt 1

1

1,8

Schritt 1: suche Zahl≠0

Zeile 1, Spalte 1

Schritt 2: vertausche Zeile 1 mit Zeile 1

keine Veränderung

Schritt 3: teile Zeile 1 durch 1

keine Veränderung

Umkehrung Schritt 5: setze Teilmatrix in Vorhergehende ein

1

0

0,2

0

1

1,8

Schritt 5 beendet: Zeilenstufenform liegt vor

keine Veränderung

Schritt 6: subtrahiere 0,11111111111111-mal Zeile 2 von Zeile 1

1

-0,11111111111111

0

0

1

1,8

Schritt 6: subtrahiere -0,11111111111111-mal Zeile 2 von Zeile 1

1

0

0,2

0

1

1,8

Vorgang beendet: reduzierte Zeilenstufenform liegt vor

keine Veränderung

Ergebnis

1

0

0,2

0

1

1,8

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